Pętla śmierci

Jaka jest potrzebna wysokość, aby zjeżdżalnia działała i wagoniki nie wypadły z toru?

Opis doświadczenia zaczynamy od rysunku dla zobrazowania całej konstrukcji:

Po torze wyznaczonym czarną linią jadą wagoniki, z punktu startowego A, przez B aż do C i dalej.

Całość stanowi bardzo dobry przykład zasady zachowania energii w zamkniętym układzie izolowanym:

E_k + E_p + Q + E = 0,

gdzie:

E_k – energia kinetyczna

E_p – energia potencjalna

Q – energia w formie ciepła

E – inne formy energii

Całkowita energia wagonika w punkcie A: 

Ea = Ep (tylko potencjalna, bo wagon jeszcze się nie porusza) = mgh

w punkcie B: 

Eb = Ek (tylko kinetyczna, bo to najniższy punkt układu) = 1/2 mv².

W punkcie C: 

Ec= Ek + Ep (zarówno potencjalna jak i kinetyczna) =mgh + 1/2 mv².

Aby w punkcie C ciało nie oderwało się od toru i nie spadło, musi działać na nie odpowiednia siła odśrodkowa (mv² / R), większa od przyciągania ziemskiego (mg).

F odśr >= F z

mv² / R >= mg (wzór *)

Z zasady zachowania energii: całkowita energia w każdym punkcie układu jest stała i równa zero.

Więc energia w punkcie A = energii w punkcie C:

mgh = 1 / 2 mv² +2mgR

Chcemy obliczyć h, ale nie znamy ani v ani R.

Z powyższego wzoru wyprowadzamy tylko v:

mgh = 1 / 2 mv² +2mgR

2gh = v^2 + 4gR

2gh – 4gR = v^2

v = sqrt(2gh – 4gR)

teraz wstawiamy to do wzoru z *.

m sqrt(2gh – 4hR)² / R >= mg

2gh – 4gR >= gR

2h – 4R >= R

h >= 5R/2

Jak widać, wysokość jaką ma mieć startowy punkt zjeżdżalni nie zależy od masy wagonika. Byłoby to sporym utrudnieniem dla konstruktorów, bo w zależności od ilości i masy pasażerów musieliby tworzyć konstrukcje o różnych wysokościach?